[2018年5月9日]
今日は、数学の公式を一つ紹介したいと思います。
このブログを読んでくださる方のお役に少しでも立てればと思います。
昔は数A、現在は数Bで学習する数列の公式です。
Σk＝1/2×n(n＋1)ですね。1／2は二分の一です。n(n＋1)は、二分の一の1にかけてあります。
Σk^2=1／6×n(n＋1)(2n＋1)ですね。^2は2乗です。k^2はkの二乗です。
Σk^3＝{1/2×n(n＋1)}^2ですね。
では、Σk＝1/2×n(n＋1)を基本に考えましょう。
Σk(k＋1)は、kにkから一つ増えたもの(k＋1)をかけたものですね。よって、1/2×n(n＋1)の1/2の2を一つ増やして１/3にして、さらに、n＋1を一つ増やしたもの(n＋2)をかけてあげましょう。
よって、Σk(k＋1)＝1／3×n(n＋1)(n＋2)です。
また、同じようにΣk(k＋1)(k＋2)＝1／4×n(n＋1)(n＋2)(n＋3)です。この法則を覚えていると一瞬で解ける問題が増えます。
次は応用です。
Σk^2＋2kを求めなさい。
解答
Σk^2＋2k＝Σk^2＋k＋k＝Σk^2＋k＋Σk＝Σk(k＋1)＋Σk
＝1／3×n(n＋1)(n＋2)＋1／2n(n＋1)
＝2／6×n(n＋1)(n＋2)＋3／6×n(n＋1)
＝n(n＋1)／6×{2(n＋2)＋3}＝n(n＋1)／6×(2n＋7)
答えは、n(n＋1)(2n＋7)／6です。
これを理解していると、解く速度が速くなるのと、Σk^2とΣk^3の公式を使う必要がほとんどなくなります。よくわからない人は、塾に来ていただければ教えさせてもらいます。
他にも、公式や様々な解き方があります。
ぜひ、塾でお会いできるのを、楽しみにお待ちしています。