尾崎塾
富田教室

[2013年1月4日]

2013が11の倍数である件

2013年ということで，2013という数字を素因数分解してみたくなった。（異常な数値愛好者か？）

まあ，2+0+1+3＝6であるから，３の倍数ではあるな。（これは常識！）

で，20+13＝33であるから，〔　　　〕の倍数やなあ。（？？？）

さて，この〔　　　　〕に入る数字は？

ヒント：サッカー

はい，正解！よくわかりましたね。１１ですね。

2013＝３×１１×６１です。

６１はどう見ても素数やなあ。

ちなみに，１１の倍数の見分け方は，上でやったように，２つずつ区切った数を足して，その数字が１１の倍数だったらその数字は１１で割り切れるということ。（へぇー，知らんかったわ）

実は，他の方法もあって，１つ飛ばしに2+1と0+3を計算します。
３と３ですね。
これを今度は引き算します。
３−３＝０ですね。
この値が０か１１の倍数なら１１で割り切れるとわかるのです。
もう１つ例をあげると，10857はどうか。
１+８+７＝１６
０+５＝５
引き算すると１６−５＝１１
なのでこの10857は１１で割り切れます。（なるほど）

さてさて，ここで問題です。（今までのは前フリ？）
上記のことを証明して下さい。

最近は，高１で習う数学Ａにも整数問題があるので，こういう約数とか整数の問題を考える習慣をつけておくといいですね。


ではまた。




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４桁の整数abcdを考える。（千の位の数がa、百の位の数がb、十の位の数がc、一の位の数がdという意味）
abcd
＝１０００a＋１００b＋１０c＋d
＝１０×（１００a＋c）＋１００b＋d
＝（１１−１）×（１００a＋c）＋９９b＋b＋d
＝１１×（１００a＋c）−（１００a＋c）＋９９b＋b＋d
＝１１×（１００a＋c）−（９９a＋a＋c）＋９９b＋b＋d
＝１１（１００a＋c）−９９a−（a＋c）＋９９b＋b＋d
＝１１（１００a＋c）−９９a＋９９b−（a＋c）＋（b＋d）
１１（１００a＋c）と９９aと９９bは11の倍数である。
よって（b＋d）−（a＋c）も11の倍数ならば、abcdは11の倍数。

でもこれは証明になってない！
４ケタの場合しか言ってないからなあ・・・